Capítulo 16 Distribuições e parâmetros

16.1 Fontes de variabilidade

16.1.1 O que são fontes de variabilidade?

• A variabilidade observada nos dados não surge de uma única causa, mas de diferentes processos que atuam simultaneamente durante a geração e a coleta dos dados.¹⁹¹

• Compreender de onde vem a variação é essencial para interpretar distribuições, construir modelos e realizar inferência.¹⁹¹

• A distribuição dos dados pode ser entendida como uma descrição da variabilidade resultante desses processos.¹⁹¹

16.1.2 Quais são as principais fontes de variabilidade?

• Variabilidade real: resulta de diferenças reais entre indivíduos ou unidades observadas.¹⁹¹

• Variabilidade de medição: decorre de limitações ou imperfeições nos instrumentos e métodos de medição. Mesmo quando o objeto medido não muda, repetidas medições podem produzir valores ligeiramente diferentes.¹⁹¹

• Variabilidade amostral: surge porque diferentes amostras extraídas da mesma população podem produzir resultados distintos.¹⁹¹

• Variabilidade experimental ou ambiental: relaciona-se a mudanças nas condições sob as quais os dados são obtidos, como temperatura, tempo, operador ou local de coleta.¹⁹¹

• Variabilidade aleatória: refere-se à componente imprevisível associada ao acaso em processos naturais ou experimentais.¹⁹¹

16.1.3 Por que identificar as fontes de variabilidade é importante?

• Permite distinguir entre variação real do fenômeno e ruído introduzido pelo processo de medição ou amostragem.¹⁹¹

• Ajuda a escolher modelos estatísticos adequados para representar os dados.¹⁹¹

• Orienta o desenho de experimentos e estratégias de amostragem para reduzir fontes indesejadas de variação.¹⁹¹

• Fundamenta a interpretação das distribuições empíricas e teóricas utilizadas na inferência estatística.¹⁹¹

16.2 Distribuições de probabilidade

16.2.1 O que são distribuições de probabilidade?

• A distribuição é o padrão de variação em uma variável ou conjunto de variáveis representado pelos dados.¹⁹¹

• Uma distribuição de probabilidade é uma função que descreve os valores possíveis ou o intervalo de valores de uma variável (eixo horizontal) e a probabilidade ou frequência relativa com que os valores ocorrem (eixo vertical).¹³³

16.2.2 Como representar distribuições de probabilidade?

• Tabelas de frequência, polígonos de frequência, gráficos de barras, histogramas e boxplots são formas de representar distribuições de probabilidade.¹⁹²

• Tabelas de frequência mostram as categorias de medição e o número de observações em cada uma. É necessário conhecer o intervalo de valores (mínimo e máximo), que é dividido em intervalos arbitrários chamados “intervalos de classe”.¹⁹²

• Se houver muitos intervalos, não haverá redução significativa na quantidade de dados, e pequenas variações serão perceptíveis. Se houver poucos intervalos, a forma da distribuição não poderá ser adequadamente determinada.¹⁹²

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Sturges, que é dado pela fórmula \(k = 1 + 3.322 \times \log_{10}(n)\), onde \(k\) é o número de intervalos e \(n\) é o número de observações.¹⁹³

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Scott, que é dado pela fórmula \(h = 3.5 \times \text{sd}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{sd}(x)\) é o desvio-padrão e \(n\) é o número de observações.¹⁹⁴

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Freedman-Diaconis, que é dado pela fórmula \(h = 2 \times \text{IQR}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{IQR}(x)\) é o intervalo interquartil e \(n\) é o número de observações.¹⁹⁵

Figura 16.1: Histogramas com diferentes métodos de binning.: Sturges, Scott e Freedman-Diaconis.

• A largura das classes pode ser determinada dividindo o intervalo total de observações pelo número de classes. Recomenda-se larguras iguais, mas larguras desiguais podem ser usadas quando existirem grandes lacunas nos dados ou em contextos específicos. Os intervalos devem ser mutuamente exclusivos e não sobrepostos, evitando intervalos abertos (ex.: <5, >10).¹⁹²

• Polígonos de frequência são gráficos de linhas que conectam os pontos médios de cada barra do histograma. Eles são úteis para comparar duas ou mais distribuições de frequência.¹⁹²

• Gráficos de barra verticais ou horizontais representam a distribuição de frequências de uma variável categórica. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do gráfico de barras é igual ao número total de observações.¹⁹²

• Histogramas representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do histograma é igual ao número total de observações.¹⁹²

• Boxplots representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A linha central divide os dados em duas partes iguais (mediana ou Q2). A caixa inferior representa o primeiro quartil (Q1) e a caixa superior representa o terceiro quartil (Q3). As linhas geralmente se estendem até 1,5 vezes o intervalo interquartil (IQR). Observações além desse limite são representadas como valores atípicos (representados por pontos individuais).¹⁹²

O pacote grDevices¹⁹⁶ fornece funções da família nclass para determinar a quantidade de classes de um histograma com os métodos de Sturge¹⁹³, Scott¹⁹⁴ ou Freedman-Diaconis¹⁹⁵.

O pacote ggplot2¹⁹⁷ fornece a função geom_freqpoly para criar polígonos de frequência.

16.2.3 Quais características definem uma distribuição?

• Uma distribuição pode ser definida por modelos matemáticos e caracterizada por parâmetros de tendência central, dispersão, simetria e curtose.^REF?

16.3 Tipos de distribuições

16.3.1 O que são distribuições empíricas?

• Distribuições empíricas são obtidas diretamente a partir dos dados observados, sendo geralmente representadas por histogramas, tabelas de frequência ou funções de distribuição empírica.¹⁹¹

16.3.2 O que são distribuições teóricas?

• Distribuições teóricas correspondem a modelos matemáticos utilizados para representar o processo gerador dos dados, como as distribuições normal, binomial ou Poisson.¹⁹¹

• A comparação entre distribuições empíricas e modelos teóricos é um passo fundamental na modelagem estatística e na inferência.¹⁹¹

16.3.3 O que são distribuições amostrais?

• Distribuição amostral descreve a distribuição de uma estatística (como a média ou a proporção) quando calculada em múltiplas amostras da mesma população.¹⁹¹

• As distribuições amostrais permitem quantificar a variabilidade associada às estimativas e constituem a base teórica para intervalos de confiança e testes de hipótese.¹⁹¹

16.3.4 Por que todas as distribuições são condicionais?

• Uma distribuição descreve a variabilidade de uma variável sob determinadas condições ou suposições.¹⁹¹

• Portanto, toda distribuição deve ser entendida como condicional ao processo gerador dos dados, ao modelo adotado ou às informações disponíveis.¹⁹¹

• Na inferência estatística, muitas distribuições são condicionais aos parâmetros desconhecidos do modelo, como ocorre na distribuição amostral da média ou na distribuição binomial condicionada à probabilidade de sucesso.¹⁹¹

16.4 Distribuições univariadas

16.4.1 Quais são as distribuições mais comuns?

• Distribuções discretas:

  • Bernoulli: resultado de um único teste com dois possíveis desfechos (sucesso ou fracasso).^REF?

  • Binomial: número de sucessos em n tentativas independentes.^REF?

  • Geométrica: número de tentativas necessárias até a ocorrência do primeiro sucesso.^REF?

  • Binomial negativa: número de testes até o k-ésimo sucesso.^REF?

  • Hipergeométrica: número de indivíduos na amostra tomados sem reposição.^REF?

  • Poisson: número de eventos em um intervalo de tempo fixo.^REF?

  • Uniforme: resultados (finitos) que são igualmente prováveis.^REF?

  • Multinomial: resultados de múltiplos testes com mais de dois possíveis desfechos.^REF?

Figura 16.2: Distribuições discretas e suas funções de probabilidade.

• Distribuições contínuas:

  • Uniforme: .^REF?

  • Exponencial: .^REF?

  • Normal: .^REF?

  • Aproximação binomial: .^REF?

  • Aproximação Poisson: .^REF?

  • t-Student: .^REF?

  • Qui-quadrado: .^REF?

  • Weibull: .^REF?

  • Gama: .^REF?

  • Log-normal: .^REF?

  • Beta: .^REF?

  • Logística: .^REF?

  • Pareto.^REF?

Figura 16.3: Distribuições contínuas básicas e suas funções de densidade.

Figura 16.4: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 16.5: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 16.6: Distribuições contínuas para inferência e suas funções de densidade.

Figura 16.7: Distribuições contínuas para dados específicos e suas funções de densidade.

Figura 16.8: Distribuições contínuas para probabilidades e proporções e suas funções de densidade.

Figura 16.9: Distribuições contínuas com caudas pesadas e suas funções de densidade.

16.4.2 Quais são as funções de uma distribuição?

• Função de massa de probabilidade (probability mass function, pmf) para variáveis discretas.^REF?

• Função de densidade de probabilidade (probability density function, pdf) para variáveis contínuas.^REF?

• Função de distribuição acumulada (cumulative distribution function, cdf).^REF?

• Função quantílica (quantile function).^REF?

• Função geradora de números aleatórios.^REF?

O pacote stats¹⁵⁶ fornece funções de distribuição e funções geradores de números aleatórios para as distribuições normal, Student t, binomial, qui-quadrado, uniforme, dentre outras.

O pacote ggdist¹⁹⁸ fornece a função geom_slabinterval para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p) e funções de densidade (d) as distribuições.

O pacote ggfortify¹⁹⁹ fornece a função ggdistribution para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições.

16.4.3 O que é a distribuição normal?

• A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição com desvios simétricos positivos e negativos em torno de um valor central.¹³⁴

• A relação entre média e desvio-padrão permite interpretar a dispersão dos dados em distribuições aproximadamente normais. A regra empírica estabelece que cerca de 68,2% dos valores situam-se no intervalo \(\bar{x} \pm \sigma\), cerca de 95,4% no intervalo \(\bar{x} \pm 2\sigma\).^134,200

• O desvio-padrão fornece uma medida direta da variabilidade dos dados em torno da média, permitindo avaliar quão dispersos ou concentrados estão os valores observados em uma amostra.²⁰⁰

Figura 16.10: Distribuições e funções de probabilidade.

16.4.4 Que métodos podem ser utilizados para identificar a normalidade da distribuição?

• Histogramas.¹³³

• Gráficos Q-Q.¹³³

• Testes de hipótese nula:¹³³

  • Kolmogorov-Smirnov

  • Shapiro-Wilk

  • Anderson-Darling

Figura 16.11: Distribuição normal e métodos de visualização e testes de normalidade.

16.4.5 O que são distribuições não-normais?

• .^REF?

16.5 Distribuições multivariadas

16.5.1 O que são distribuições multivariadas?

• Distribuições multivariadas descrevem a probabilidade conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias.^REF?

• Exemplos de distribuições multivariadas incluem a distribuição normal multivariada, a distribuição t multivariada, a distribuição binomial multinomial e a distribuição de Dirichlet.^REF?

Figura 16.12: Distribuição normal bivariada e amostra simulada com histogramas marginais.

16.6 Parâmetros

16.6.1 O que são parâmetros?

• Parâmetros são informações que definem um modelo teórico, como propriedades de uma coleção de indivíduos.¹³²

• Parâmetros definem características de uma população inteira, tipicamente não observados por ser inviável ter acesso a todos os indivíduos que constituem tal população.¹³³

O pacote base⁶⁴ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

16.6.2 Que parâmetros podem ser estimados?

• Parâmetros de tendência central.^134,201

• Parâmetros de dispersão.^134,201,202

• Parâmetros de proporção.^{134,201,203,203}

• Parâmetros de distribuição.²⁰¹

• Parâmetros de extremos.¹³⁴

O pacote base⁶⁴ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

16.7 Tendência central

16.7.1 Que parâmetros de tendência central podem ser estimados?

• Média aritmética (16.1), ponderada (16.2), geométrica (16.3) ou harmônica (16.4).^134,201,204

\[\begin{equation} \tag{16.1} \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{16.2} \bar{x}_p = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{16.3} \bar{x}_g = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{16.4} \bar{x}_h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \end{equation}\]

• Mediana (16.5).^134,201,205

\[\begin{equation} \tag{16.5} \tilde{x} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & \text{se } n \text{ é ímpar} \\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2}, & \text{se } n \text{ é par} \end{cases} \end{equation}\]

• Moda (16.6), onde \(f(x)\) é a função de frequência absoluta ou relativa e \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) são os valores observados.^134,201,205

\[\begin{equation} \tag{16.6} \operatorname{Mo} \in \arg\max_{x \in \{x_1,\ldots,x_n\}} f(x) \end{equation}\]

• Moda (dados agrupados) (16.7), onde: \(L\) = limite inferior da classe modal; \(f_1\) = frequência da classe modal; \(f_0\) = frequência da classe anterior à classe modal; \(f_2\) = frequência da classe posterior à classe modal; \(h\) = amplitude da classe modal.

\[\begin{equation} \tag{16.7} \operatorname{Mo} = L + \frac{(f_1 - f_0)}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \cdot h \end{equation}\]

• A posição relativa das medidas de tendência central (média, mediana e moda) depende da forma da distribuição.²⁰⁵

• Em uma distribuição normal, as três medidas são idênticas.²⁰⁵

• A média é sempre puxada para os valores extremos, por isso é deslocada para a cauda em distribuições assimétricas.²⁰⁵

• A mediana fica entre a média e a moda em distribuições assimétricas.²⁰⁵

• A moda é o valor mais frequente e, portanto, se localiza no pico da distribuição assimétrica.²⁰⁵

• Uma distribuição pode uma moda (unimodal), duas modas (bimodal) ou três ou mais modas (multimodal), indicando a presença de mais de um valor com alta frequência.²⁰⁵

Figura 16.13: Distribuições unimodal, bimodal e multimodal.

Figura 16.14: Parâmetros de tendência central em distribuições assimétricas e normais.

O pacote base⁶⁴ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

16.7.2 Como escolher o parâmetro de tendência central?

• A mediana é preferida à média quando existem poucos valores extremos na distribuição, alguns valores são indeterminados, ou há uma distribuição aberta, ou os dados são medidos em uma escala ordinal.²⁰⁵

• A moda é preferida quando os dados são medidos em uma escala nominal.²⁰⁵

• A média geométrica é preferida quando os dados são medidos em uma escala logarítmica.²⁰⁵

16.8 Dispersão

16.8.1 Que parâmetros de dispersão podem ser estimados?

• Variância (16.8).^134,201

\[\begin{equation} \tag{16.8} s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \end{equation}\]

• Desvio-padrão (16.9).^202,206,207

\[\begin{equation} \tag{16.9} s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \end{equation}\]

• Amplitude (16.10).^134,201,207

\[\begin{equation} \tag{16.10} A = x_{\max} - x_{\min} \end{equation}\]

• Intervalo interquartil (16.11).^134,201,207

\[\begin{equation} \tag{16.11} IQR = Q_3 - Q_1 \end{equation}\]

Figura 16.15: Parâmetros de dispersão em distribuições normais.

O pacote base⁶⁴ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote stats¹⁵⁶ fornece a função confint para calcular o intervalo de confiança em um nível de significância \(\alpha\).

16.8.2 Como escolher o parâmetro de dispersão?

• Desvio-padrão \(\sigma\) é apropriado quando a média é utilizada como parâmetro de tendência central em distribuições simétricas.²⁰⁷

• Amplitude ou intervalo interquartil são apropriadas para variáveis ordinais ou distribuições assimétricas.²⁰⁷

16.8.3 O que é a correção de Bessel para variância?

• Correção de Bessel é um ajuste feito no denominador da fórmula de variância da amostra — ou seja, o número de graus de liberdade — para evitar que a variância amostral seja menor do que a variância populacional.²⁰⁸

• A correção de Bessel é feita subtraindo-se 1 do número de observações da amostra, ou seja, \(n - 1\) (16.12).²⁰⁸

\[\begin{equation} \tag{16.12} s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \end{equation}\]

16.8.4 Por que a correção de Bessel para variância é importante?

• A correção de Bessel é importante porque a variância amostral tende a ser menor do que a variância populacional, especialmente em amostras pequenas.²⁰⁸

• A correção de Bessel ajuda a garantir que a variância amostral seja uma estimativa mais precisa da variância populacional, o que é fundamental para a validade dos testes estatísticos e das inferências feitas a partir da amostra.²⁰⁸

16.9 Proporção

16.9.1 Que parâmetros de proporção podem ser estimados?

• Frequência absoluta (16.13).^134,201,203

\[\begin{equation} \tag{16.13} f_i = n_i \end{equation}\]

• Frequência relativa (16.14).^134,201,203

\[\begin{equation} \tag{16.14} fr_i = \frac{n_i}{N} \end{equation}\]

• Percentil (16.15), onde \(k\) é o percentil desejado (0 a 100) e \(n\) é o número total de observações na amostra.^134,201,203

\[\begin{equation} \tag{16.15} P_k = x_{\left(\frac{k}{100} \cdot (n+1)\right)} \end{equation}\]

• Quantil: é o ponto de corte que define a divisão da amostra em grupos de tamanhos iguais. Portanto, não se referem aos grupos em si, mas aos valores que os dividem:²⁰³

  • Tercil: 2 valores que dividem a amostra em 3 grupos de tamanhos iguais.²⁰³

  • Quartil: 3 valores que dividem a amostra em 4 grupos de tamanhos iguais.²⁰³

  • Quintil: 4 valores que dividem a amostra em 5 grupos de tamanhos iguais.²⁰³

  • Decil: 9 valores que dividem a amostra em 10 grupos de tamanhos iguais.²⁰³

O pacote base⁶⁴ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote base⁶⁴ fornece a função table para calcular proporções.

O pacote stats⁶⁴ fornece a função quantile para executar análise de percentis.

16.10 Extremos

16.10.1 Que parâmetros extremos podem ser estimados?

• Mínimo (16.16).¹³⁴

\[\begin{equation} \tag{16.16} \text{Mínimo} = \min(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{equation}\]

• Máximo (16.17).¹³⁴

\[\begin{equation} \tag{16.17} \text{Máximo} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{equation}\]

Figura 16.16: Regressão linear com valores extremos.

16.11 Erro

16.11.1 Que parâmetros de erro podem ser estimados?

• Margem de erro (ME).(16.18).

\[\begin{equation} \tag{16.18} ME = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

• Erro-padrão da média (EPM) (16.19) (\(sigma\) conhecido) e (16.20) (\(sigma\) desconhecido).^202,206

\[\begin{equation} \tag{16.19} EPM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{16.20} \widehat{EPM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

16.12 Distribuição

16.12.1 Que parâmetros de distribuição podem ser estimados?

• Assimetria (16.21).²⁰¹

\[\begin{equation} \tag{16.21} \gamma_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)^{3/2}} \end{equation}\]

• Curtose (16.22).²⁰¹

\[\begin{equation} \tag{16.22} \gamma_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^4}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)^{2}} \end{equation}\]

• Excesso de Curtose (16.23).²⁰¹

\[\begin{equation} \tag{16.23} \kappa = \gamma_2 - 3 \end{equation}\]

Figura 16.17: Parâmetros de distribuição: Assimetria e Curtose.

Figura 16.18: Parâmetros de distribuição: Curtose em distribuições simétricas (normal vs. uniforme).

16.13 Parâmetros robustos

16.13.1 O que são parâmetros robustos?

• Parâmetros robustos são medidas de posição e dispersão que permanecem estáveis mesmo na presença de valores discrepantes.²⁰⁹

16.13.2 Por que utilizar parâmetros robustos?

• Parâmetros robustos garantem maior confiabilidade quando os dados não seguem a normalidade ou apresentam contaminação por outliers.²⁰⁹

• Parâmetros robustos permitem análises mais estáveis em estudos exploratórios, evitando decisões equivocadas sobre variabilidade ou tendência central.²⁰⁹

16.13.3 O que é ponto de quebra?

• É a menor proporção de contaminação que pode levar o estimador a resultados arbitrariamente errados; quanto maior, mais robusto.²¹⁰

16.13.4 Que parâmetros robustos podem ser estimados?

• Média e variância Winsorizadas como opções intermediárias, reduzindo a influência dos outliers.²⁰⁹

• Mediana, com \(~50%\) de ponto de quebra e função influência limitada.^209,210

• Median Absolute Deviation (MAD) (16.24), com correção 1,483 para normalidade, com \(~50%\) de ponto de quebra.^209,210

\[\begin{equation} \tag{16.24} MAD = 1.483 \cdot \text{median}(|x_i - \text{median}(x)|) \end{equation}\]

• Primeiro quartil das diferenças pareadas (\(Qn\)) (16.25), com \(~50%\) de ponto de quebra.^209,210

\[\begin{equation} \tag{16.25} Qn = 2.2219 \cdot \text{first quartile}(|x_i - x_j|; i < j) \end{equation}\]

• O intervalo interquartil (\(IQR\)) (16.11) é robusto, com ponto de quebra \(~25%\), sendo simples de interpretar e útil em boxplots.²¹⁰

Citar como:
Ferreira, Arthur de Sá. Ciência com R: Perguntas e respostas para pesquisadores e analistas de dados. Rio de Janeiro: 1a edição,

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