Capítulo 17 Distribuições e parâmetros

17.1 Fontes de variabilidade

17.1.1 O que são fontes de variabilidade?

• A variabilidade observada nos dados não surge de uma única causa, mas de diferentes processos que atuam simultaneamente durante a geração e a coleta dos dados.¹⁹³

• Compreender de onde vem a variação é essencial para interpretar distribuições, construir modelos e realizar inferência.¹⁹³

• A distribuição dos dados pode ser entendida como uma descrição da variabilidade resultante desses processos.¹⁹³

17.1.2 Quais são as principais fontes de variabilidade?

• Variabilidade real: resulta de diferenças reais entre indivíduos ou unidades observadas.¹⁹³

• Variabilidade de medição: decorre de limitações ou imperfeições nos instrumentos e métodos de medição. Mesmo quando o objeto medido não muda, repetidas medições podem produzir valores ligeiramente diferentes.¹⁹³

• Variabilidade amostral: surge porque diferentes amostras extraídas da mesma população podem produzir resultados distintos.¹⁹³

• Variabilidade experimental ou ambiental: relaciona-se a mudanças nas condições sob as quais os dados são obtidos, como temperatura, tempo, operador ou local de coleta.¹⁹³

• Variabilidade aleatória: refere-se à componente imprevisível associada ao acaso em processos naturais ou experimentais.¹⁹³

17.1.3 Por que identificar as fontes de variabilidade é importante?

• Permite distinguir entre variação real do fenômeno e ruído introduzido pelo processo de medição ou amostragem.¹⁹³

• Ajuda a escolher modelos estatísticos adequados para representar os dados.¹⁹³

• Orienta o desenho de experimentos e estratégias de amostragem para reduzir fontes indesejadas de variação.¹⁹³

• Fundamenta a interpretação das distribuições empíricas e teóricas utilizadas na inferência estatística.¹⁹³

17.2 Distribuições de probabilidade

17.2.1 O que são distribuições de probabilidade?

• A distribuição é o padrão de variação em uma variável ou conjunto de variáveis representado pelos dados.¹⁹³

• Uma distribuição de probabilidade é uma função que descreve os valores possíveis ou o intervalo de valores de uma variável (eixo horizontal) e a probabilidade ou frequência relativa com que os valores ocorrem (eixo vertical).¹³⁶

17.2.2 Como representar distribuições de probabilidade?

• Tabelas de frequência, polígonos de frequência, gráficos de barras, histogramas e boxplots são formas de representar distribuições de probabilidade.¹⁹⁴

• Tabelas de frequência mostram as categorias de medição e o número de observações em cada uma. É necessário conhecer o intervalo de valores (mínimo e máximo), que é dividido em intervalos arbitrários chamados “intervalos de classe”.¹⁹⁴

• Se houver muitos intervalos, não haverá redução significativa na quantidade de dados, e pequenas variações serão perceptíveis. Se houver poucos intervalos, a forma da distribuição não poderá ser adequadamente determinada.¹⁹⁴

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Sturges, que é dado pela fórmula \(k = 1 + 3.322 \times \log_{10}(n)\), onde \(k\) é o número de intervalos e \(n\) é o número de observações.¹⁹⁵

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Scott, que é dado pela fórmula \(h = 3.5 \times \text{sd}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{sd}(x)\) é o desvio-padrão e \(n\) é o número de observações.¹⁹⁶

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Freedman-Diaconis, que é dado pela fórmula \(h = 2 \times \text{IQR}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{IQR}(x)\) é o intervalo interquartil e \(n\) é o número de observações.¹⁹⁷

Figura 17.1: Histogramas com diferentes métodos de binning.: Sturges, Scott e Freedman-Diaconis.

• A largura das classes pode ser determinada dividindo o intervalo total de observações pelo número de classes. Larguras desiguais podem ser usadas quando existirem grandes lacunas nos dados ou em contextos específicos. Os intervalos devem ser mutuamente exclusivos e não sobrepostos (ex.: <5, >10).¹⁹⁴

• Polígonos de frequência são gráficos de linhas que conectam os pontos médios de cada barra do histograma. Eles são úteis para comparar duas ou mais distribuições de frequência.¹⁹⁴

• Gráficos de barra verticais ou horizontais representam a distribuição de frequências de uma variável categórica. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe.¹⁹⁴

• Histogramas representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do histograma é igual ao número total de observações.¹⁹⁴

• Boxplots representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A linha central representa a mediana (Q2). A caixa inferior representa o primeiro quartil (Q1) e a caixa superior o terceiro quartil (Q3). Observações além de 1,5 vezes o intervalo interquartil (IQR) são representadas como valores atípicos.¹⁹⁴

O pacote grDevices¹⁹⁸ fornece funções da família nclass para determinar a quantidade de classes de um histograma com os métodos de Sturge¹⁹⁵, Scott¹⁹⁶ ou Freedman-Diaconis¹⁹⁷.

O pacote ggplot2¹⁹⁹ fornece a função geom_freqpoly para criar polígonos de frequência.

17.2.3 Quais características definem uma distribuição?

• Uma distribuição pode ser definida por modelos matemáticos e caracterizada por parâmetros de tendência central, dispersão, simetria e curtose.^REF?

17.3 Tipos de distribuições

17.3.1 O que são distribuições empíricas?

• Distribuições empíricas são obtidas diretamente a partir dos dados observados, sendo geralmente representadas por histogramas, tabelas de frequência ou funções de distribuição empírica.¹⁹³

17.3.2 O que são distribuições teóricas?

• Distribuições teóricas correspondem a modelos matemáticos utilizados para representar o processo gerador dos dados, como as distribuições normal, binomial ou Poisson.¹⁹³

• A comparação entre distribuições empíricas e modelos teóricos é um passo fundamental na modelagem estatística e na inferência.¹⁹³

17.3.3 O que são distribuições amostrais?

• Distribuição amostral descreve a distribuição de uma estatística (como a média ou a proporção) quando calculada em múltiplas amostras da mesma população.¹⁹³

• As distribuições amostrais permitem quantificar a variabilidade associada às estimativas e constituem a base teórica para intervalos de confiança e testes de hipótese.¹⁹³

17.3.4 Por que todas as distribuições são condicionais?

• Uma distribuição descreve a variabilidade de uma variável sob determinadas condições ou suposições.¹⁹³

• Portanto, toda distribuição deve ser entendida como condicional ao processo gerador dos dados, ao modelo adotado ou às informações disponíveis.¹⁹³

• Na inferência estatística, muitas distribuições são condicionais aos parâmetros desconhecidos do modelo, como ocorre na distribuição amostral da média ou na distribuição binomial condicionada à probabilidade de sucesso.¹⁹³

17.4 Distribuições univariadas

17.4.1 Quais são as distribuições mais comuns?

• Distribuções discretas:

  • Bernoulli: resultado de um único teste com dois possíveis desfechos (sucesso ou fracasso).^REF?

  • Binomial: número de sucessos em n tentativas independentes.^REF?

  • Geométrica: número de tentativas necessárias até a ocorrência do primeiro sucesso.^REF?

  • Binomial negativa: número de testes até o k-ésimo sucesso.^REF?

  • Hipergeométrica: número de indivíduos na amostra tomados sem reposição.^REF?

  • Poisson: número de eventos em um intervalo de tempo fixo.^REF?

  • Uniforme: resultados (finitos) que são igualmente prováveis.^REF?

  • Multinomial: resultados de múltiplos testes com mais de dois possíveis desfechos.^REF?

Figura 17.2: Distribuições discretas e suas funções de probabilidade.

• Distribuições contínuas:

  • Uniforme: .^REF?

  • Exponencial: .^REF?

  • Normal: .^REF?

  • Aproximação binomial: .^REF?

  • Aproximação Poisson: .^REF?

  • t-Student: .^REF?

  • Qui-quadrado: .^REF?

  • Weibull: .^REF?

  • Gama: .^REF?

  • Log-normal: .^REF?

  • Beta: .^REF?

  • Logística: .^REF?

  • Pareto.^REF?

Figura 17.3: Distribuições contínuas básicas e suas funções de densidade.

Figura 17.4: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 17.5: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 17.6: Distribuições contínuas para inferência e suas funções de densidade.

Figura 17.7: Distribuições contínuas para dados específicos e suas funções de densidade.

Figura 17.8: Distribuições contínuas para probabilidades e proporções e suas funções de densidade.

Figura 17.9: Distribuições contínuas com caudas pesadas e suas funções de densidade.

17.4.2 Quais são as funções de uma distribuição?

• Função de massa de probabilidade (probability mass function, pmf) para variáveis discretas.^REF?

• Função de densidade de probabilidade (probability density function, pdf) para variáveis contínuas.^REF?

• Função de distribuição acumulada (cumulative distribution function, cdf).^REF?

• Função quantílica (quantile function).^REF?

• Função geradora de números aleatórios.^REF?

O pacote stats¹⁵⁹ fornece funções de distribuição e funções geradores de números aleatórios para as distribuições normal, binomial, qui-quadrado e uniforme, dentre outras.

O pacote ggdist²⁰⁰ fornece a função geom_slabinterval para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p) e funções de densidade (d) as distribuições.

O pacote ggfortify²⁰¹ fornece a função ggdistribution para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições.

17.4.3 O que é a distribuição normal?

• A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição com desvios simétricos positivos e negativos em torno de um valor central.¹³⁷

• A relação entre média e desvio-padrão permite interpretar a dispersão dos dados em distribuições aproximadamente normais. A regra empírica estabelece que cerca de 68,2% dos valores situam-se no intervalo \(\bar{x} \pm \sigma\), cerca de 95,4% no intervalo \(\bar{x} \pm 2\sigma\).^137,202

• O desvio-padrão fornece uma medida direta da variabilidade dos dados em torno da média, permitindo avaliar quão dispersos ou concentrados estão os valores observados em uma amostra.²⁰²

Figura 17.10: Distribuições e funções de probabilidade.

17.4.4 Que métodos podem ser utilizados para identificar a normalidade da distribuição?

• Histogramas.¹³⁶

• Gráficos Q-Q.¹³⁶

• Testes de hipótese nula:¹³⁶

  • Kolmogorov-Smirnov

  • Shapiro-Wilk

  • Anderson-Darling

Figura 17.11: Distribuição normal e métodos de visualização e testes de normalidade.

17.5 Distribuições bivariadas

17.5.1 O que são distribuições bivariadas?

• .^REF?

Figura 17.12: Distribuição normal bivariada e amostra simulada com histogramas marginais.

17.6 Distribuições multivariadas

17.6.1 O que são distribuições multivariadas?

• Distribuições multivariadas descrevem a probabilidade conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias.^REF?

• Exemplos de distribuições multivariadas incluem a distribuição normal multivariada, a distribuição t multivariada, a distribuição binomial multinomial e a distribuição de Dirichlet.^REF?

17.7 Parâmetros

17.7.1 O que são parâmetros?

• Parâmetros são informações que definem um modelo teórico, como propriedades de uma coleção de indivíduos.¹³⁵

• Parâmetros definem características de uma população inteira, tipicamente não observados por ser inviável ter acesso a todos os indivíduos que constituem tal população.¹³⁶

O pacote base³¹ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

17.7.2 Que parâmetros podem ser estimados?

• Parâmetros de tendência central.^137,203

• Parâmetros de dispersão.^137,203,204

• Parâmetros de proporção.^{137,203,205,205}

• Parâmetros de distribuição.²⁰³

• Parâmetros de extremos.¹³⁷

O pacote base³¹ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

17.8 Tendência central

17.8.1 Que parâmetros de tendência central podem ser estimados?

• Média aritmética (17.1), ponderada (17.2), geométrica (17.3) ou harmônica (17.4).^137,203,206

\[\begin{equation} \tag{17.1} \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{17.2} \bar{x}_p = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{17.3} \bar{x}_g = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{17.4} \bar{x}_h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \end{equation}\]

• Mediana (17.5).^137,203,207

\[\begin{equation} \tag{17.5} \tilde{x} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & \text{se } n \text{ é ímpar} \\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2}, & \text{se } n \text{ é par} \end{cases} \end{equation}\]

• Moda (17.6), onde \(f(x)\) é a função de frequência absoluta ou relativa e \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) são os valores observados.^137,203,207

\[\begin{equation} \tag{17.6} \operatorname{Mo} \in \arg\max_{x \in \{x_1,\ldots,x_n\}} f(x) \end{equation}\]

• Moda (dados agrupados) (17.7), onde: \(L\) = limite inferior da classe modal; \(f_1\) = frequência da classe modal; \(f_0\) = frequência da classe anterior à classe modal; \(f_2\) = frequência da classe posterior à classe modal; \(h\) = amplitude da classe modal.

\[\begin{equation} \tag{17.7} \operatorname{Mo} = L + \frac{(f_1 - f_0)}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \cdot h \end{equation}\]

• A posição relativa das medidas de tendência central (média, mediana e moda) depende da forma da distribuição.²⁰⁷

• Em uma distribuição normal, as três medidas são idênticas.²⁰⁷

• A média é sempre puxada para os valores extremos, por isso é deslocada para a cauda em distribuições assimétricas.²⁰⁷

• A mediana fica entre a média e a moda em distribuições assimétricas.²⁰⁷

• A moda é o valor mais frequente e, portanto, se localiza no pico da distribuição assimétrica.²⁰⁷

• Uma distribuição pode uma moda (unimodal), duas modas (bimodal) ou três ou mais modas (multimodal), indicando a presença de mais de um valor com alta frequência.²⁰⁷

Figura 17.13: Distribuições unimodal, bimodal e multimodal.

Figura 17.14: Parâmetros de tendência central em distribuições assimétricas e normais.

O pacote base³¹ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

17.8.2 Como escolher o parâmetro de tendência central?

• A mediana é preferida à média quando existem poucos valores extremos na distribuição, alguns valores são indeterminados, ou há uma distribuição aberta, ou os dados são medidos em uma escala ordinal.²⁰⁷

• A moda é preferida quando os dados são medidos em uma escala nominal.²⁰⁷

• A média geométrica é preferida quando os dados são medidos em uma escala logarítmica.²⁰⁷

17.9 Dispersão

17.9.1 Que parâmetros de dispersão podem ser estimados?

• Variância (17.8).^137,203

\[\begin{equation} \tag{17.8} s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \end{equation}\]

• Desvio-padrão (17.9).^204,208,209

\[\begin{equation} \tag{17.9} s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \end{equation}\]

• Amplitude (17.10).^137,203,209

\[\begin{equation} \tag{17.10} A = x_{\max} - x_{\min} \end{equation}\]

• Intervalo interquartil (17.11).^137,203,209

\[\begin{equation} \tag{17.11} IQR = Q_3 - Q_1 \end{equation}\]

Figura 17.15: Parâmetros de dispersão em distribuições normais.

O pacote base³¹ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote stats¹⁵⁹ fornece a função confint para calcular o intervalo de confiança em um nível de significância \(\alpha\).

17.9.2 Como escolher o parâmetro de dispersão?

• Desvio-padrão \(\sigma\) é apropriado quando a média é utilizada como parâmetro de tendência central em distribuições simétricas.²⁰⁹

• Amplitude ou intervalo interquartil são apropriadas para variáveis ordinais ou distribuições assimétricas.²⁰⁹

17.9.3 O que é a correção de Bessel para variância?

• Correção de Bessel é um ajuste feito no denominador da fórmula de variância da amostra — ou seja, o número de graus de liberdade — para evitar que a variância amostral seja menor do que a variância populacional.²¹⁰

• A correção de Bessel é feita subtraindo-se 1 do número de observações da amostra, ou seja, \(n - 1\) (17.12).²¹⁰

\[\begin{equation} \tag{17.12} s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \end{equation}\]

17.9.4 Por que a correção de Bessel para variância é importante?

• A correção de Bessel é importante porque a variância amostral tende a ser menor do que a variância populacional, especialmente em amostras pequenas.²¹⁰

• A correção de Bessel ajuda a garantir que a variância amostral seja uma estimativa mais precisa da variância populacional, o que é fundamental para a validade dos testes estatísticos e das inferências feitas a partir da amostra.²¹⁰

17.10 Proporção

17.10.1 Que parâmetros de proporção podem ser estimados?

• Frequência absoluta (17.13).^137,203,205

\[\begin{equation} \tag{17.13} f_i = n_i \end{equation}\]

• Frequência relativa (17.14).^137,203,205

\[\begin{equation} \tag{17.14} fr_i = \frac{n_i}{N} \end{equation}\]

• Percentil (17.15), onde \(k\) é o percentil desejado (0 a 100) e \(n\) é o número total de observações na amostra.^137,203,205

\[\begin{equation} \tag{17.15} P_k = x_{\left(\frac{k}{100} \cdot (n+1)\right)} \end{equation}\]

• Quantil: é o ponto de corte que define a divisão da amostra em grupos de tamanhos iguais. Portanto, não se referem aos grupos em si, mas aos valores que os dividem:²⁰⁵

  • Tercil: 2 valores que dividem a amostra em 3 grupos de tamanhos iguais.²⁰⁵

  • Quartil: 3 valores que dividem a amostra em 4 grupos de tamanhos iguais.²⁰⁵

  • Quintil: 4 valores que dividem a amostra em 5 grupos de tamanhos iguais.²⁰⁵

  • Decil: 9 valores que dividem a amostra em 10 grupos de tamanhos iguais.²⁰⁵

O pacote base³¹ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote base³¹ fornece a função table para calcular proporções.

O pacote stats³¹ fornece a função quantile para executar análise de percentis.

17.11 Extremos

17.11.1 Que parâmetros extremos podem ser estimados?

• Mínimo (17.16).¹³⁷

\[\begin{equation} \tag{17.16} \text{Mínimo} = \min(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{equation}\]

• Máximo (17.17).¹³⁷

\[\begin{equation} \tag{17.17} \text{Máximo} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{equation}\]

Figura 17.16: Regressão linear com valores extremos.

17.12 Erro

17.12.1 Que parâmetros de erro podem ser estimados?

• Margem de erro (ME).(17.18).

\[\begin{equation} \tag{17.18} ME = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

• Erro-padrão da média (EPM) (17.19) (\(sigma\) conhecido) e (17.20) (\(sigma\) desconhecido).^204,208

\[\begin{equation} \tag{17.19} EPM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{17.20} \widehat{EPM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \end{equation}\]

17.13 Distribuição

17.13.1 Que parâmetros de distribuição podem ser estimados?

• Assimetria (17.21).²⁰³

\[\begin{equation} \tag{17.21} \gamma_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)^{3/2}} \end{equation}\]

• Curtose (17.22).²⁰³

\[\begin{equation} \tag{17.22} \gamma_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^4}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)^{2}} \end{equation}\]

• Excesso de Curtose (17.23).²⁰³

\[\begin{equation} \tag{17.23} \kappa = \gamma_2 - 3 \end{equation}\]

Figura 17.17: Parâmetros de distribuição: Assimetria e Curtose.

Figura 17.18: Parâmetros de distribuição: Curtose em distribuições simétricas (normal vs. uniforme).

17.14 Parâmetros robustos

17.14.1 O que são parâmetros robustos?

• Parâmetros robustos são medidas de posição e dispersão que permanecem estáveis mesmo na presença de valores discrepantes.²¹¹

17.14.2 Por que utilizar parâmetros robustos?

• Parâmetros robustos garantem maior confiabilidade quando os dados não seguem a normalidade ou apresentam contaminação por outliers.²¹¹

• Parâmetros robustos permitem análises mais estáveis em estudos exploratórios, evitando decisões equivocadas sobre variabilidade ou tendência central.²¹¹

17.14.3 O que é ponto de quebra?

• É a menor proporção de contaminação que pode levar o estimador a resultados arbitrariamente errados; quanto maior, mais robusto.²¹²

17.14.4 Que parâmetros robustos podem ser estimados?

• Média e variância Winsorizadas como opções intermediárias, reduzindo a influência dos outliers.²¹¹

• Mediana, com \(~50%\) de ponto de quebra e função influência limitada.^211,212

• Median Absolute Deviation (MAD) (17.24), com correção 1,483 para normalidade, com \(~50%\) de ponto de quebra.^211,212

\[\begin{equation} \tag{17.24} MAD = 1.483 \cdot \text{median}(|x_i - \text{median}(x)|) \end{equation}\]

• Primeiro quartil das diferenças pareadas (\(Qn\)) (17.25), com \(~50%\) de ponto de quebra.^211,212

\[\begin{equation} \tag{17.25} Qn = 2.2219 \cdot \text{first quartile}(|x_i - x_j|; i < j) \end{equation}\]

• O intervalo interquartil (\(IQR\)) (17.11) é robusto, com ponto de quebra \(~25%\), sendo simples de interpretar e útil em boxplots.²¹²

Citar como:
Ferreira, Arthur de Sá. Ciência com R: Perguntas e respostas para pesquisadores e analistas de dados. Rio de Janeiro: 1a edição,

Referências

31.

R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing; 2023. https://www.R-project.org/.

135.

Altman DG, Bland JM. Statistics notes Variables and parameters. BMJ. 1999;318(7199):1667–1667. doi:10.1136/bmj.318.7199.1667

136.

Vetter TR. Fundamentals of Research Data and Variables. Anesthesia & Analgesia. 2017;125(4):1375–1380. doi:10.1213/ane.0000000000002370

137.

Ali Z, Bhaskar Sb. Basic statistical tools in research and data analysis. Indian Journal of Anaesthesia. 2016;60(9):662. doi:10.4103/0019-5049.190623

159.

R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing.; 2025. https://www.R-project.org/.

193.

WILD C. THE CONCEPT OF DISTRIBUTION. STATISTICS EDUCATION RESEARCH JOURNAL. 2006;5(2):10–26. doi:10.52041/serj.v5i2.497

194.

S M. Frequency distribution. Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics. 2011;2(1):54–56. doi:10.4103/0976-500x.77120

195.

Sturges HA. The Choice of a Class Interval. Journal of the American Statistical Association. 1926;21(153):65–66. doi:10.1080/01621459.1926.10502161

196.

SCOTT DW. On optimal and data-based histograms. Biometrika. 1979;66(3):605–610. doi:10.1093/biomet/66.3.605

197.

Freedman D, Diaconis P. On the histogram as a density estimator:L 2 theory. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1981;57(4):453–476. doi:10.1007/bf01025868

198.

R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing.; 2023. https://www.R-project.org/.

199.

Wickham H. ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer; 2016. https://ggplot2.tidyverse.org.

200.

Kay M. ggdist: Visualizations of Distributions and Uncertainty in the Grammar of Graphics. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 2024;30(1):414–424. doi:10.1109/TVCG.2023.3327195

201.

Tang Y, Horikoshi M, Li W. ggfortify: Unified Interface to Visualize Statistical Result of Popular R Packages. V 8.; 2016. doi:10.32614/RJ-2016-060

202.

Darling HS. Do you have a standard way of interpreting the standard deviation? A narrative review. Cancer Research, Statistics, and Treatment. 2022;5(4):728–733. doi:10.4103/crst.crst_284_22

203.

Kanji G. 100 Statistical Tests. SAGE Publications Ltd; 2006. doi:10.4135/9781849208499

204.

Curran-Everett D. Explorations in statistics: standard deviations and standard errors. Advances in Physiology Education. 2008;32(3):203–208. doi:10.1152/advan.90123.2008

205.

Altman DG, Bland JM. Statistics Notes: Quartiles, quintiles, centiles, and other quantiles. BMJ. 1994;309(6960):996–996. doi:10.1136/bmj.309.6960.996

206.

S. M. Measures of central tendency: The mean. Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics. 2011;2(2):140–142. doi:10.4103/0976-500x.81920

207.

S. M. Measures of central tendency: Median and mode. Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics. 2011;2(3):214–215. doi:10.4103/0976-500x.83300

208.

Krzywinski M, Altman N. Error bars. Nature Methods. 2013;10(10):921–922. doi:10.1038/nmeth.2659

209.

Manikandan S. Measures of dispersion. Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics. 2011;2(4):315–316. doi:10.4103/0976-500x.85931

210.

Sahai H, Misra S. Definitions of Sample Variance: Some Teaching Problems to be Overcome. The Statistician. 1992;41(1):55. doi:10.2307/2348636

211.

Daszykowski M, Kaczmarek K, Vander Heyden Y, Walczak B. Robust statistics in data analysis A review. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 2007;85(2):203–219. doi:10.1016/j.chemolab.2006.06.016

212.

Rousseeuw PJ, Hubert M. Robust statistics for outlier detection. WIREs Data Mining and Knowledge Discovery. 2011;1(1):73–79. doi:10.1002/widm.2