Capítulo 21 Distribuições e parâmetros

21.1 Distribuições de probabilidade

21.1.1 O que são distribuições de probabilidade?

• Uma distribuição de probabilidade é uma função que descreve os valores possíveis ou o intervalo de valores de uma variável (eixo horizontal) e a frequência com que cada valor é observado (eixo vertical).¹⁰⁹

21.1.2 Como representar distribuições de probabilidade?

• Tabelas de frequência, polígonos de frequência, gráficos de barras, histogramas e boxplots são formas de representar distribuições de probabilidade.²⁰⁹

• Tabelas de frequência mostram as categorias de medição e o número de observações em cada uma. É necessário conhecer o intervalo de valores (mínimo e máximo), que é dividido em intervalos arbitrários chamados “intervalos de classe”.²⁰⁹

• Se houver muitos intervalos, não haverá redução significativa na quantidade de dados, e pequenas variações serão perceptíveis. Se houver poucos intervalos, a forma da distribuição não poderá ser adequadamente determinada.²⁰⁹

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Sturges, que é dado pela fórmula \(k = 1 + 3.322 \times \log_{10}(n)\), onde \(k\) é o número de intervalos e \(n\) é o número de observações.²¹⁰

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Scott, que é dado pela fórmula \(h = 3.5 \times \text{sd}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{sd}(x)\) é o desvio padrão e \(n\) é o número de observações.²¹¹

• A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Freedman-Diaconis, que é dado pela fórmula \(h = 2 \times \text{IQR}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{IQR}(x)\) é o intervalo interquartil e \(n\) é o número de observações.²¹²

• A largura das classes pode ser determinada dividindo o intervalo total de observações pelo número de classes. Recomenda-se larguras iguais, mas larguras desiguais podem ser usadas quando existirem grandes lacunas nos dados ou em contextos específicos. Os intervalos devem ser mutuamente exclusivos e não sobrepostos, evitando intervalos abertos (ex.: <5, >10).²⁰⁹

• Polígonos de frequência são gráficos de linhas que conectam os pontos médios de cada barra do histograma. Eles são úteis para comparar duas ou mais distribuições de frequência.²⁰⁹

• Gráficos de barra verticais ou horizontais representam a distribuição de frequências de uma variável categórica. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do gráfico de barras é igual ao número total de observações.²⁰⁹

• Histogramas representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do histograma é igual ao número total de observações.²⁰⁹

• Boxplots representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A linha central divide os dados em duas partes iguais (mediana ou Q2). A caixa inferior representa o primeiro quartil (Q1) e a caixa superior representa o terceiro quartil (Q3). A linha inferior é o mínimo e a linha superior é o máximo. Os valores atípicos são representados por pontos individuais.²⁰⁹

O pacote grDevices²⁰⁷ fornece a função nclass para determinar a quantidade de classes de um histograma com os métodos de Sturge²¹⁰, Scott²¹¹ ou Freedman-Diaconis²¹².

O pacote ggplot2¹⁸¹ fornece a função geom_freqpoly para criar histogramas.

21.1.3 Quais características definem uma distribuição?

• Uma distribuição pode ser definida por modelos matemáticos e caracterizada por parâmetros de tendência central, dispersão, simetria e curtose.

21.1.4 Quais são as distribuições mais comuns?

• Distribuções discretas:

  • Bernoulli: resultado de um único teste com dois possíveis desfechos (sucesso ou fracasso).^REF?

  • Binomial: número de sucessos em k tentativas.^REF?

  • Geométrica: número de testes até o 1o sucesso.^REF?

  • Binomial negativa: número de testes até o k-ésimo sucesso.^REF?

  • Hipergeométrica: número de indivíduos na amostra tomados sem reposição.^REF?

  • Poisson: número de eventos em um intervalo de tempo fixo.^REF?

  • Uniforme: resultados (finitos) que são igualmente prováveis.^REF?

  • Multinomial: resultados de múltiplos testes com mais de dois possíveis desfechos.^REF?

Figura 21.1: Distribuições discretas e suas funções de probabilidade.

• Distribuições contínuas:

  • Uniforme: .^REF?

  • Exponencial: .^REF?

  • Normal: .^REF?

  • Aproximação binomial: .^REF?

  • Aproximação Poisson: .^REF?

  • t-Student: .^REF?

  • Qui-quadrado: .^REF?

  • Weibull: .^REF?

  • Gama: .^REF?

  • Log-normal: .^REF?

  • Beta: .^REF?

  • Logística: .^REF?

  • Pareto.^REF?

Figura 21.2: Distribuições contínuas básicas e suas funções de densidade.

Figura 21.3: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 21.4: Distribuições contínuas aproximadas e suas funções de densidade.

Figura 21.5: Distribuições contínuas para inferência e suas funções de densidade.

Figura 21.6: Distribuições contínuas para dados específicos e suas funções de densidade.

Figura 21.7: Distribuições contínuas para probabilidades e proporções e suas funções de densidade.

Figura 21.8: Distribuições contínuas com caudas pesadas e suas funções de densidade.

21.1.5 Quais são as funções de uma distribuição?

• Função de massa de probabilidade (probability mass function, pmf).^REF?

• Função de distribuição cumulativa (cumulative distribution function, cdf).^REF?

• Função quantílicas (quantile function, qf).^REF?

• Função geradora de números aleatórios (random function, rf).^REF?

O pacote stats¹⁴² fornece funções de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições normal, Student t, binomial, qui-quadrado, uniforme, dentre outras.

O pacote ggdist²¹³ fornece a função geom_slabinterval para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p) e funções de densidade (d) as distribuições.

O pacote ggfortify²¹⁴ fornece a função ggdistribution para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições.

21.1.6 O que é a distribuição normal?

• A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição com desvios simétricos positivos e negativos em torno de um valor central.¹¹⁰

• Em uma distribuição normal, o intervalo de 1 desvio-padrão (±1DP) inclui cerca de 68% dos dados; de 2 desvios-padrão (±2DP) cerca de 95% dos dados; e no intervalo de 3 desvios-padrão (±3DP) cerca de 99% dos dados.¹¹⁰

Figura 21.9: Distribuições e funções de probabilidade.

21.1.7 Que métodos podem ser utilizados para identificar a normalidade da distribuição?

• Histogramas.¹⁰⁹

• Gráficos Q-Q.¹⁰⁹

• Testes de hipótese nula:¹⁰⁹

  • Kolmogorov-Smirnov

  • Shapiro-Wilk

  • Anderson-Darling

Figura 21.10: Distribuição normal e métodos de visualização e testes de normalidade.

21.1.8 O que são distribuições não-normais?

• .^REF?

21.2 Parâmetros

21.2.1 O que são parâmetros?

• Parâmetros são informações que definem um modelo teórico, como propriedades de uma coleção de indivíduos.¹⁰⁸

• Parâmetros definem características de uma população inteira, tipicamente não observados por ser inviável ter acesso a todos os indivíduos que constituem tal população.¹⁰⁹

O pacote base⁹⁷ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

21.2.2 O que é uma análise paramétrica?

• Testes paramétricos possuem suposições sobre as características e/ou parâmetros da distribuição dos dados na população.¹⁰⁹

• Testes paramétricos assumem que: a variável é quantitativa numérica (contínua); os dados foram amostrados de uma população com distribuição normal; a variância da(S) amostra(s) é igual à da população; as amostras foram selecionadas de modo aleatório na população; os valores de cada amostra são independentes entre si.^109,110

• Testes paramétricos são baseados na suposição de que os dados amostrais provêm de uma população com parâmetros fixos determinando sua distribuição de probabilidade.⁸

21.2.3 O que é uma análise não paramétrica?

• Testes não-paramétricos fazem poucas suposições, ou menos rigorosas, sobre as características e/ou parâmetros da distribuição dos dados na população.^109,110

• Testes não-paramétricos são úteis quando as suposições de normalidade não podem ser sustentadas.¹¹⁰

21.2.4 Devemos testar as suposições de normalidade?

• Testes preliminares de normalidade não são necessários para a maioria dos testes paramétricos de comparação, pois eles são robustos contra desvios moderados da normalidade. Normalidade da distribuição deve ser estabelecida para a população.²¹⁵

21.2.5 Por que as análises paramétricas são preferidas?

• Em geral, testes paramétricos são mais robustos (isto é, possuem menores erros tipo I e II) que seus testes não-paramétricos correspondentes.^109,197,216

• Testes não-paramétricos apresentam menor poder estatístico (maior erro tipo II) comparados aos testes paramétricos correspondentes.¹¹⁰

21.2.6 Que parâmetros podem ser estimados?

• Parâmetros de tendência central.^110,217

• Parâmetros de dispersão.^110,217,218

• Parâmetros de proporção.^{110,217,219,219}

• Parâmetros de distribuição.²¹⁷

• Parâmetros de extremos.¹¹⁰

O pacote base⁹⁷ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

21.3 Tendência central

21.3.1 Que parâmetros de tendência central podem ser estimados?

• Média aritmética, ponderada, geométrica ou harmônica.^110,217,220

• Mediana.^110,217,221

• Moda.^110,217,221

• A posição relativa das medidas de tendência central (média, mediana e moda) depende da forma da distribuição.²²¹

• Em uma distribuição normal, as três medidas são idênticas.²²¹

• A média é sempre puxada para os valores extremos, por isso é deslocada para a cauda em distribuições assimétricas.²²¹

• A mediana fica entre a média e a moda em distribuições assimétricas.²²¹

• A moda é o valor mais frequente e, portanto, se localiza no pico da distribuição assimétrica.²²¹

• Uma distribuição pode uma moda (unimodal), duas modas (bimodal) ou três ou mais modas (multimodal), indicando a presença de mais de um valor com alta frequência.²²¹

Figura 21.11: Distribuições unimodal, bimodal e multimodal.

Figura 21.12: Parâmetros de tendência central em distribuições assimétricas e normais.

O pacote base⁹⁷ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

21.3.2 Como escolher o parâmetro de tendência central?

• A mediana é preferida à média quando existem poucos valores extremos na distribuição, alguns valores são indeterminados, ou há uma distribuição aberta, ou os dados são medidos em uma escala ordinal.²²¹

• A moda é preferida quando os dados são medidos em uma escala nominal.²²¹

• A média geométrica é preferida quando os dados são medidos em uma escala logarítmica.²²¹

21.4 Dispersão

21.4.1 Que parâmetros de dispersão podem ser estimados?

• Variância.^110,217

• Desvio-padrão: Informam sobre a dispersão da população e são, portanto, úteis como preditores da variação em novas amostras.^204,218,222

• Erro-padrão: Refletem a incerteza na média e sua dependência do tamanho da amostra.^204,218

• Amplitude.^110,217,222

• Intervalo interquartil.^110,217,222

• Intervalo de confiança: Captura a média populacional correspondente ao nível de significância \(\alpha\) pré-estabelecido.^{110,203,204,217}

Figura 21.13: Parâmetros de dispersão em distribuições normais.

O pacote base⁹⁷ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote stats¹⁴² fornece a função confint para calcular o intervalo de confiança em um nível de significância \(\alpha\).

21.4.2 Como escolher o parâmetro de dispersão?

• Desvio-padrão é apropriado quando a média é utilizada como parâmetro de tendência central em distribuições simétricas.²²²

• Amplitue ou intervalo interquartil são apropriadas para variáveis ordinais ou distribuições assimétricas.²²²

21.4.3 O que é a correção de Bessel para variância?

• Correção de Bessel é um ajuste feito no denominador da fórmula de variância da amostra — ou seja, o número de graus de liberdade — para evitar que a variância amostral seja menor do que a variância populacional.²²³

• A correção de Bessel é feita subtraindo-se 1 do número de observações da amostra, ou seja, \(n - 1\).²²³

21.4.4 Por que a correção de Bessel para variância é importante?

• A correção de Bessel é importante porque a variância amostral tende a ser menor do que a variância populacional, especialmente em amostras pequenas.²²³

• A correção de Bessel ajuda a garantir que a variância amostral seja uma estimativa mais precisa da variância populacional, o que é fundamental para a validade dos testes estatísticos e das inferências feitas a partir da amostra.²²³

21.5 Proporção

21.5.1 Que parâmetros de proporção podem ser estimados?

• Frequência absoluta.^110,217,219

• Frequência relativa.^110,217,219

• Percentil.^110,217,219

• Quantil: é o ponto de corte que define a divisão da amostra em grupos de tamanhos iguais. Portanto, não se referem aos grupos em si, mas aos valores que os dividem:²¹⁹

  • Tercil: 2 valores que dividem a amostra em 3 grupos de tamanhos iguais.²¹⁹

  • Quartil: 3 valores que dividem a amostra em 4 grupos de tamanhos iguais.²¹⁹

  • Quintil: 4 valores que dividem a amostra em 5 grupos de tamanhos iguais.²¹⁹

  • Decil: 9 valores que dividem a amostra em 10 grupos de tamanhos iguais.²¹⁹

O pacote base⁹⁷ fornece a função summary para calcular diversos parâmetros descritivos.

O pacote base⁹⁷ fornece a função table para calcular proporções.

O pacote stats⁹⁷ fornece a função quantile para executar análise de percentis.

21.6 Distribuição

21.6.1 Que parâmetros de distribuição podem ser estimados?

• Assimetria.²¹⁷

• Curtose.²¹⁷

21.7 Extremos

21.7.1 O que são valores extremos?

• Valores extremos podem constituir valores legítimos ou ilegítimos de uma distribuição.²²⁴

• Valores extremos, quando raros ou desproporcionais, podem se tornar discrepantes ou influentes, afetando as análises estatísticas, sendo recomendado uma análise robusta.^REF?

21.7.2 Que parâmetros extremos podem ser estimados?

• Mínimo.¹¹⁰

• Máximo.¹¹⁰

Figura 21.14: Regressão linear com valores extremos.

21.8 Robustez em medidas de localização

21.8.1 O que é ponto de quebra (breakdown value)?

• É a menor proporção de contaminação que pode levar o estimador a resultados arbitrariamente errados; quanto maior, mais robusto.²²⁵

21.8.2 Por que a média não é robusta?

• Porque tem ponto de quebra \(~0%\) e função influência não limitada; um único outlier pode distorcer a média arbitrariamente.²²⁵

21.8.3 Qual a alternativa robusta para localização?

• Mediana, com \(~50%\) de ponto de quebra e função influência limitada.²²⁵

21.8.4 Como estimar escala de forma robusta?

• Median Absolute Deviation (MAD), equação (??), com correção 1,483 para normalidade, com \(~50%\) de ponto de quebra..²²⁵

\[\begin{equation} \tag{21.1} MAD = 1.483 \cdot \text{median}(|x_i - \text{median}(x)|) \end{equation}\]

• Primeiro quartil das diferenças pareadas (\(Qn\)), equação (21.2), com \(~50%\) de ponto de quebra.²²⁵

\[\begin{equation} \tag{21.2} Qn = 2.2219 \cdot \text{first quartile}(|x_i - x_j|; i < j) \end{equation}\]

• O intervalo interquartil (\(IQR\)), equação @ref(eq;iqr) é robusto, com ponto de quebra \(~25%\), sendo simples de interpretar e útil em boxplots.²²⁵

\[\begin{equation} \tag{21.3} IQR = Q3 - Q1 \end{equation}\]

21.9 Parâmetros robustos

21.9.1 O que são parâmetros robustos?

• Parâmetros robustos são medidas de posição e dispersão que permanecem estáveis mesmo na presença de valores discrepantes.²²⁶

21.9.2 Que parâmetros robustos podem ser estimados?

• Mediana em vez da média aritmética, pois é menos sensível a valores extremos.²²⁶

• MAD (Median Absolute Deviation) em vez do desvio padrão, que pode ser escalonado por 1.483 para comparabilidade.²²⁶

• Qn e Sn como estimadores alternativos de dispersão robusta.²²⁶

• Média e variância Winsorizadas como opções intermediárias, reduzindo a influência dos outliers.²²⁶

21.9.3 Por que utilizar parâmetros robustos?

• Eles garantem maior confiabilidade quando os dados não seguem a normalidade ou apresentam contaminação por outliers.²²⁶

• Permitem análises mais estáveis em estudos exploratórios, evitando decisões equivocadas sobre variabilidade ou tendência central.²²⁶

Citar como:
Ferreira, Arthur de Sá. Ciência com R: Perguntas e respostas para pesquisadores e analistas de dados. Rio de Janeiro: 1a edição,

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