Capítulo 13 Distribuições e parâmetros
13.1 Distribuições de probabilidade
13.1.1 O que são distribuições de probabilidade?
- Uma distribuição de probabilidade é uma função que descreve os valores possíveis ou o intervalo de valores de uma variável (eixo horizontal) e a frequência com que cada valor é observado (eixo vertical).76
13.1.2 Como representar distribuições de probabilidade?
Tabelas de frequência, polígonos de frequência, gráficos de barras, histogramas e boxplots são formas de representar distribuições de probabilidade.126
Tabelas de frequência mostram as categorias de medição e o número de observações em cada uma. É necessário conhecer o intervalo de valores (mínimo e máximo), que é dividido em intervalos arbitrários chamados “intervalos de classe”.126
Se houver muitos intervalos, não haverá redução significativa na quantidade de dados, e pequenas variações serão perceptíveis. Se houver poucos intervalos, a forma da distribuição não poderá ser adequadamente determinada.126
A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Sturges, que é dado pela fórmula \(k = 1 + 3.322 \times \log_{10}(n)\), onde \(k\) é o número de intervalos e \(n\) é o número de observações.127
A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Scott, que é dado pela fórmula \(h = 3.5 \times \text{sd}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{sd}(x)\) é o desvio padrão e \(n\) é o número de observações.128
A quantidade de intervalos pode ser determinada pelo método de Freedman-Diaconis, que é dado pela fórmula \(h = 2 \times \text{IQR}(x) \times n^{-1/3}\), onde \(h\) é a largura do intervalo, \(\text{IQR}(x)\) é o intervalo interquartil e \(n\) é o número de observações.129
A largura das classes pode ser determinada dividindo o intervalo total de observações pelo número de classes. Recomenda-se larguras iguais, mas larguras desiguais podem ser usadas quando existirem grandes lacunas nos dados ou em contextos específicos. Os intervalos devem ser mutuamente exclusivos e não sobrepostos, evitando intervalos abertos (ex.: <5, >10).126
Polígonos de frequência são gráficos de linhas que conectam os pontos médios de cada barra do histograma. Eles são úteis para comparar duas ou mais distribuições de frequência.126
Gráficos de barra verticais ou horizontais representam a distribuição de frequências de uma variável categórica. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do gráfico de barras é igual ao número total de observações.126
Histogramas representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A altura de cada barra é proporcional à frequência da classe. A largura da barra é igual à largura da classe. A área de cada barra é proporcional à frequência da classe. A área total do histograma é igual ao número total de observações.126
Boxplots representam a distribuição de frequências de uma variável contínua. A linha central divide os dados em duas partes iguais (mediana ou Q2). A caixa inferior representa o primeiro quartil (Q1) e a caixa superior representa o terceiro quartil (Q3). A linha inferior é o mínimo e a linha superior é o máximo. Os valores atípicos são representados por pontos individuais.126
O pacote grDevices130 fornece a função nclass para determinar a quantidade de classes de um histograma com os métodos de Sturge127, Scott128 ou Freedman-Diaconis129.
13.1.3 Quais características definem uma distribuição?
- Uma distribuição pode ser definida por modelos matemáticos e caracterizada por parâmetros de tendência central, dispersão, simetria e curtose.
13.1.4 Quais são as distribuições mais comuns?
Distribuções discretas:
Uniforme: resultados (finitos) que são igualmente prováveis.REF?
Binomial: número de sucessos em k tentativas.REF?
Poisson: número de eventos em um intervalo de tempo fixo.REF?
Bernoulli: .REF?
Geométrica: número de testes até o 1o sucesso.REF?
Binomial negativa: número de testes até o k-ésimo sucesso.REF?
Hipergeométrica: número de indivíduos na amostra tomados sem reposição.REF?
Distribuições contínuas:
Uniforme: resultados que possuem a mesma densidade.REF?
Exponencial: tempo entre eventos.REF?
Normal: .REF?
Normal padrão: .REF?
Aproximação binomial: número de sucessos em uma grande quantidade de tentativas.REF?
Aproximação Poisson: número de ocorrências em um intervalo de tempo fixo.REF?
Qui-quadrado: .REF?
t-Student: .REF?
Weibull: .REF?
Log-normal: .REF?
Beta: .REF?
Gama: .REF?
Logística: .REF?
Pareto.REF?
13.1.5 Quais são as funções de uma distribuição?
Função de massa de probabilidade (probability mass function, pmf).REF?
Função de distribuição cumulativa (cumulative distribution function, cdf).REF?
Função quantílicas (quantile function, qf).REF?
Função geradora de números aleatórios (random function, rf).REF?
O pacote stats71 fornece funções de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições normal, Student t, binomial, qui-quadrado, uniforme, dentre outras.
O pacote ggdist132 fornece a função geom_slabinterval para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p) e funções de densidade (d) as distribuições.
O pacote ggfortify133 fornece a função ggdistribution para criar gráficos de distribuição de probabilidade (p), funções de densidade (d), funções quantílicas (q) e funções geradores de números aleatórios (r) para as distribuições.
13.1.6 O que é a distribuição normal?
A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição com desvios simétricos positivos e negativos em torno de um valor central.105
Em uma distribuição normal, o intervalo de 1 desvio-padrão (±1DP) inclui cerca de 68% dos dados; de 2 desvios-padrão (±2DP) cerca de 95% dos dados; e no intervalo de 3 desvios-padrão (±3DP) cerca de 99% dos dados.105
Figura 13.1: Distribuições e funções de probabilidade
13.2 Parâmetros
13.2.1 O que são parâmetros?
Parâmetros são informações que definem um modelo teórico, como propriedades de uma coleção de indivíduos.104
Parâmetros definem características de uma população inteira, tipicamente não observados por ser inviável ter acesso a todos os indivíduos que constituem tal população.76
13.2.2 O que é uma análise paramétrica?
Testes paramétricos possuem suposições sobre as características e/ou parâmetros da distribuição dos dados na população.76
Testes paramétricos assumem que: a variável é quantitativa numérica (contínua); os dados foram amostrados de uma população com distribuição normal; a variância da(S) amostra(s) é igual à da população; as amostras foram selecionadas de modo aleatório na população; os valores de cada amostra são independentes entre si.76,105
Testes paramétricos são baseados na suposição de que os dados amostrais provêm de uma população com parâmetros fixos determinando sua distribuição de probabilidade.8
13.2.3 O que é uma análise não paramétrica?
Testes não-paramétricos fazem poucas suposições, ou menos rigorosas, sobre as características e/ou parâmetros da distribuição dos dados na população.76,105
Testes não-paramétricos são úteis quando as suposições de normalidade não podem ser sustentadas.105
13.2.4 Por que as análises paramétricas são preferidas?
Em geral, testes paramétricos são mais robustos (isto é, possuem menores erros tipo I e II) que seus testes não-paramétricos correspondentes.76,134
Testes não-paramétricos apresentam menor poder estatístico (maior erro tipo II) comparados aos testes paramétricos correspondentes.105
13.3 Tendência central
13.3.1 Que parâmetros de tendência central podem ser estimados?
Média: aritmética, ponderada, geométrica ou harmônica.105,135,138
A posição relativa das medidas de tendência central (média, mediana e moda) depende da forma da distribuição.139
Em uma distribuição normal, as três medidas são idênticas.139
A média é sempre puxada para os valores extremos, por isso é deslocada para a cauda em distribuições assimétricas.139
A mediana fica entre a média e a moda em distribuições assimétricas.139
A moda é o valor mais frequente e, portanto, se localiza no pico da distribuição assimétrica.139
13.3.2 Como escolher o parâmetro de tendência central?
A mediana é preferida à média quando existem poucos valores extremos na distribuição, alguns valores são indeterminados, ou há uma distribuição aberta, ou os dados são medidos em uma escala ordinal.139
A moda é preferida quando os dados são medidos em uma escala nominal.139
A média geométrica é preferida quando os dados são medidos em uma escala logarítmica.139
13.4 Dispersão
13.4.1 Que parâmetros de dispersão podem ser estimados?
Desvio-padrão: Informam sobre a dispersão da população e são, portanto, úteis como preditores da variação em novas amostras.136,140,141
Erro-padrão: Refletem a incerteza na média e sua dependência do tamanho da amostra.136,140
Intervalo de confiança: Captura a média populacional correspondente ao nível de significância \(\alpha\) pré-estabelecido.105,135,140,142
O pacote stats71 fornece a função confint para calcular o intervalo de confiança em um nível de significância \(\alpha\).
13.5 Proporção
13.5.1 Que parâmetros de proporção podem ser estimados?
Quantil: é o ponto de corte que define a divisão da amostra em grupos de tamanhos iguais. Portanto, não se referem aos grupos em si, mas aos valores que os dividem:137
Tercil: 2 valores que dividem a amostra em 3 grupos de tamanhos iguais.137
Quartil: 3 valores que dividem a amostra em 4 grupos de tamanhos iguais.137
Quintil: 4 valores que dividem a amostra em 5 grupos de tamanhos iguais.137
Decil: 9 valores que dividem a amostra em 10 grupos de tamanhos iguais.137
13.8 Valores discrepantes
13.8.1 O que são valores discrepantes (outliers)?
Em termos gerais, um valor discrepante - “fora da curva” ou outlier - é uma observação que possui um valor relativamente grande ou pequeno em comparação com a maioria das observações.143
Mais especificamente, um valor discrepante é uma observação incomum que exerce influência indevida em uma análise.143
13.8.2 Como conduzir análises com valores discrepantes?
Erros de observação e de medição são uma justificativa válida para descartar observações discrepantes.143
Valores discrepantes na variável de desfecho podem exigir uma abordagem mais refinada, especialmente quando representam uma variação real na variável que está sendo medida.143
Valores discrepantes em uma (co)variável podem surgir devido a um projeto experimental inadequado; nesse caso, abandonar a observação ou transformar a covariável são opções adequadas.143
É importante reportar se existem valores discrepantes e como foram tratados.143
O pacote outliers144 fornece a função rm.outlier para remover os valores mais distantes da média detectados por testes de hipótese e/ou substitui-los pela média ou mediana.